数形结合论文参考文献高考冲刺：数形结合编稿：林景飞审稿：张扬责编：辛文升热点分析高考动向数形结合应用广泛，不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性，而且在下面是小编为大家整理的数形结合论文参考文献8篇,供大家参考。
数形结合论文参考文献篇1
高考冲刺：数形结合
编稿：林景飞
审稿：张扬
责编：辛文升 热点分析 高考动向
数形结合应用广泛，不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果。高考中利用数形结合的思想在解决选、填题中十分方便，而在解答题中书写应以代数推理论证为主，几何方法可作为思考的方法。数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视。历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查，且占比例较大。
知识升华
数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。
具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。
选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数形结合思想，寻找快速思路的空间。但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理，“形”上的直观是不够严密的。 1．高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面：
（1）集合问题中Venn图（韦恩图）的运用；
（2）数轴及直角坐标系的广泛应用；
（3）函数图象的应用；
（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用；
（5）解析几何、立体几何中的数形结合。
2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：
（1）等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应；
（2）双方性原则。既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分
析容易出错；
（3）简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；
二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变
量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。
3．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：
（1）建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何；
（2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解；
（3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。 4．常见的“以形助数”的方法有：
（1）借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆；
（2）借助于函数图象、区域（如线性规划）、向量本身的几何背景；
（3）借助于方程的曲线，由方程代数式，联想其几何背景，并用几何知识解决问题，如点，直线，斜
率，距离，圆及其他曲线，直线和曲线的位置关系等，对解决代数问题都有重要作用，应充分予
以重视。
5．常见的把数作为手段的数形结合：
主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有这方面的考查。
经典例题透析
类型一：利用数形结合思想解决函数问题 1．（2010全国Ⅰ·理）已知函数a+2b的取值范围是
A．
解析：画出
由题设有，
B．的示意图。 ， ，若，且，则
C．
D．
∴ ，
令 ，
则
∵
∴ ， ∴ 在，
。 上是增函数。
∴
举一反三：
【变式1】已知函数
。选C.
在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。
解析：∵
∴抛物线， 的开口向下，对称轴是，如图所示：
（1）
（2）
（3）
（1）当a＜0时，如图（1）所示， 当x=0时，y有最大值，即
∴1―a=2。即a=―1，适合a＜0。
（2）当0≤a≤1时，如图（2）所示， 当x=a时，y有最大值，即
。 。
∴a―a+1=2，解得
2。
∵0≤a≤1，∴不合题意。
（3）当a＞1时，如图（3）所示。
当x=1时，y有最大值，即
综合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2
【变式2】已知函数
（Ⅰ）写出
（Ⅱ）设的单调区间； ，求
在[0，a]上的最大值。
。
。∴a=2。
解析：
如图：
（1）的单调增区间：
，；单调减区间：（1，2）
时，，。
（2）当a≤1时，当
当
【变式3】已知
()
（1）若，在上的最大值为，最小值为，求证：；
（2）当]时，都
，时，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得x∈[0,
有|f(x)|≤5，问a为何值时，M(a)最大？并求出这个最大值。
解析：
（1）若a=0，则c=0，∴f(x)=2bx
当-2≤x≤2时，f(x)的最大值与最小值一定互为相反数，与题意不符合，∴a≠0；
若a≠0，假设，
∴区间[-2,2]在对称轴的左外侧或右外侧，
∴f(x)在[-2，2]上是单调函数，
（这是不可能的）
（2）当，时，，
∵，所以，
（图1）
（图2）
（1）当
所以
即是方程，时（如图1），则的较小根，即
（2）当
所以
即是方程，时（如图2），则的较大根，即
（当且仅当
时，等号成立），
由于，
因此当且仅当时，取最大值
类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题 2．若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。
思路点拨：将方程的左右两边分别看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可简化运算。
解析：画出
和的图象，
当直线过点，即时，两图象有两个交点。
又由当曲线
与曲线
相切时，二者只有一个交点，
设切点
又直线，则过切点，即，得， ，解得切点，
∴当时，两函数图象有两个交点，即方程有两个不等实根。
误区警示：作图时，图形的相对位置关系不准确，易造成结果错误。
总结升华：
1．解决这类问题时要准确画出函数图象，注意函数的定义域。
2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把
方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两
个函数的图象，由图求解。
3．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：
①要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；
②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；
③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；
④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，便于问题求解。
举一反三：
【变式1】若关于x的方程在（－1，1）内有1个实根，则k的取值范围是 。
解析：把方程左、右两侧看作两个函数，利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个数。
设（x∈－1，1）
如图：当内有1个实根。
或时，关于x的方程在（－1，1）
【变式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范围及这两个实根的和。
有两个不同的实数根，求实数m的解析：将原方程
与直线
转化为三角函数的图象
有两个不同的交点时，求a的范围及α+β的值。
设，，在同一坐标中作出这两个函数的图象
由图可知，当
或
时，y1与y2的图象有两个不同交点，
即对应方程有两个不同的实数根，
若，设原方程的一个根为，则另一个根为。
∴。
若，设原方程的一个根为，则另一个根为，
∴。
所以这两个实根的和为或。
且由对称性可知，这两个实根的和为或。
类型三：依据式子的结构，赋予式子恰当的几何意义，数形结合解答
3．（北京2010·理）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点，则函数的最小正周期为________；
在其两个相邻的轨迹方程是零点间的图象与x轴所围成的区域的面积为________.
解析：为便于观察，不妨先将正方形PABC向负方向滚动，使P点落在x轴上的点，此点即是函数的一个零点（图1）。
（一）以A为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点B位于x轴上，
顶点P画出了A为圆心，1为半径的个圆周（图2）；
（二）继续以B为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点C位于x轴上，
顶点P画出B为圆心，为半径的个圆周（图3）；
（三）继续以C为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时，顶点P位于x轴上，为点，
它画出了C为圆心，1为半径的个圆周（图4）。为又一个零点。
∴ 函数的周期为4.
相邻两个零点间的图形与x轴围成的图形由两个半径为1的圆、
半径为的圆和两个直角边长为1的直角三角形，其面积是
。
举一反三：
2
2【变式1】已知圆C：(x+2)+y=1，P（x，y）为圆C上任一点。
（1）求的最大、最小值；
（2）求的最大、最小值；
（3）求x―2y的最大、最小值。
解析：联想所求代数式的几何意义，再画出草图，结合图象求解。
（1）
表示点（x，y）与原点的距离，
由题意知P（x，y）在圆C上，又C（―2，0），半径r=1。
∴|OC|=2。的最大值为2+r=2+1=3， 的最小值为2―r=2―1=1。
（2）表示点（x，y）与定点（1，2）两点连线的斜率，
设Q（1，2），，过Q点作圆C的两条切线，如图：
将整理得kx―y+2―k=0。
∴，解得，
所以的最大值为，最小值为。
（3）令x―2y=u，则可视为一组平行线系，
当直线与圆C有公共点时，可求得u的范围，
最值必在直线与圆C相切时取得。这时
∴
。 ，最小值为
。 ，
∴x―2y的最大值为
【变式2】求函数
解析：的最小值。
则y看作点P（x，0）到点A（1，1）与B（3，2）距离之和
如图，点A（1，1）关于x轴的对称点A＇（1，－1），则 即为P到A，B距离之和的最小值，∴
【变式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则值范围是（ ）
2的取
A．
B．或
C．
D．或
解析：如图
由题知方程的根，一个在（0，1）之间，一个在（1，2）之间，
则 ，即
下面利用线性规划的知识，则斜率
可看作可行域内的点与原点O（0，0）连线的 则 ，选C。
数形结合论文参考文献篇2
在数学教学中渗透数形结合思想
在数学教学中，教师如果能灵活地借助数形结合思想，会将数学问题化难为易，帮助学生理解数学问题。那么，如何在初中数学教学中挖掘数形结合思想并适时地加以应用呢？下面笔者根据日常的教学实践谈谈自己的见解。
一、从有理数开始就让中学生及早体会数形结合思想
在七年级开始，数轴的引入就大大丰富了有理数的内容，对学生认识有理数、相反数、绝对值以及有理数的运算都有很大的帮助，由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是有理数，但我们要求学生时刻牢记它的形：数轴上的点。通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则。
例如:
1、比较两个数的大小方法：数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的大，正数大于零，负数小于0，正数大于负数；
2、比2℃低5℃的温度是_______；
3、若|a|=2，则a=______；
4、七年级《数学》(上)的习题，一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达小彬家，继续走了1.5千米到达小颖家，然后向西走了9.5千米到达小明家，最后回到超市。在习题中也常出现这类题目。
这些内容如果适当应用数形结合的思想就很容易理解掌握了。
二、不等式(组)内容蕴藏着数形结合思想
在进行 “一元一次不等式和一元一次不等式组”，教学时，为了加深学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。这里蕴藏着数形结合的重要思想方法，在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效，如：在分析不等式组的解集情况时，如果老师利用数轴把数转化为“形”从而找出两个不等式的公共解，教学效果会事倍功半。如果老师能结合数轴，画图表示各个不等式的解集，就很容易写出不等式组几种类型的解集。
三、应用题的内容也隐含丰富的数形结合思想。
用示意图分析数学问题，就是运用数形结合思想的充分体现。小学教师在帮助学生分析解应用题，尤其有关行程问题、工程问题等方面的内容时，都不忘用示意图。而到了中学，学生的理解分析能力都有了很大的提高，应用题的内容更为丰富了，复杂了、难度更大了，并且其难点是如何根据题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，老师在教学中必须充分运用数形结合思想，根据题意画出相应的示意图，才能帮助学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。数形结合的思想，是最基本的数学思想之一，应用范围较为广泛，因此我们数学老师在教学中要注重数形结合思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的应用，数与形是数学中相互依赖的两个方面，在教学中要挖掘数与形的联系，从而加深对所学知识的理解和掌握。
数形结合论文参考文献篇3
小学数学数形结合教学思想
一、数形结合教学思想在小学数学教学中的运用
数形结合作为一种教学思想方法，一般包含两方面内容，一个方面是“以形助数”，另一个方面的内容是“以数解形”。下面介绍这两个方面的内容在小学数学教学中的运用。
（一）以形助数
所谓“以形助数”，是指老师在讲解某些数学知识的时候，仅靠数字讲解学生不太能理解，借助几何图形的特点，将所要讲的知识点更直观地展现在学生面前，从而将抽象化的问题转变为具体化的问题。学生在学习行程问题的应用题时，可以运用图形的办法清晰地展现问题。如：一辆汽车从甲地开往乙地，先是经过上坡路，然后是平地，最后是下坡路，汽车上坡速度是每小时20千米，在平地的速度是每小时30千米，而下坡的速度则是每小时40千米，汽车从甲地到乙地一共上坡花了6小时，平地花了2小时，下坡花了4小时。请问汽车从乙地到甲地需要多长时间？在这道题中，既存在变量，又存在不变量。变量就是上坡路和下坡路随着汽车行驶的方向而发生改变，当汽车从乙地到甲地行驶时，原先的上坡路变成了下坡路，原先的斜坡路变成了上坡路。而不变量就是这两个路程汽车行驶的速度都是始终不变的。那么在解决问题的时候，就可以直观地展现出来。先算出汽车从乙地到甲地的上坡时间，即（40×4）÷20=8（小时），然后算出下坡所花费的时间，即（20×6）÷40=3（小时），而平地所花费的时间是不变的，所以汽车从乙地到甲地所花费的时间是8+3+2=13（小时）。在这道题中，运用图像将数学中的数量关系、运算都直观地展现出来，学生比较易于理解，这样的教学可以在很大程度上提高教学效率。
（二）以数解形
虽然图形可以更加直观地展现数学中的数量关系，但是对于一些几何图形，特别是小学数学中的几何图形来讲，非常简单，如果仅仅是通过直接观察反而看不出规律，这时就可以运用“以数解形”的方式教学。比如老师在讲解“平行四边形的特征”一课时，很多学生通过学习，对概念性的东西已经非常了解，但是在具体的情况下又不能真正把握清楚，老师在教学过程中就可以通过对四边形进行赋值，让学生更深刻地理解和把握。比如给出三组数字：（1）6，5，3，7（2）7，5，5，7（3）8，6，4，6在这三组数字中，让学生选择平行四边形。那么学生理解了平行四边形的概念，即两组对边要平行且相等，通过比较分析，知道只有第二组数字符合平行四边形的概念。因此，在这样的教学中应该充分运用“数”与“形”的特点，帮助学生更快地掌握知识要点。
二、在小学数学教学中运用数形结合教学思想需要注意的问题
（一）注意培养学生运用数形结合方法的习惯
老师在小学数学中运用数形结合的方法进行教学，帮助学生更好地理解知识点，同时要注意培养学生运用数形结合方法解决数学题的习惯。小学生在平时的做题过程中，常常会忘了使用“数形结合”方法，有的还不会。因此，老师在平时的教学中，一定要培养学生养成运用数形结合方法的好习惯。针对不同的年龄段学生，采用不同的方法，比如低年级学生，引导学生在生活中找实物，高年级的学生则学会简单的画图等，让学生建立数形结合的思想。
（二）数形结合要注意利用多媒体技术 多媒体的发展已经迅速蔓延到教学领域，对于比较难懂的知识点，老师要借助多媒体技术实施教学。因为多媒体技术可以移动图像，当碰到需要运用想象思维的时候，可以在多媒体中进行展示。
三、结语
在小学数学中运用数形结合教学思想，可以有效提高课堂教学效率，帮助学生更快地理解知识点。教师应根据不同情况，综合运用“以形助数”和“以数解形”这两种不同方式，取得更好的教学效果。
作者：季利明 工作单位：赤峰市元宝山区元宝山镇马林小学
数形结合论文参考文献篇4
高考冲刺：数形结合
编稿：林景飞
审稿：张扬
责编：辛文升 热点分析 高考动向
数形结合应用广泛，不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果。高考中利用数形结合的思想在解决选、填题中十分方便，而在解答题中书写应以代数推理论证为主，几何方法可作为思考的方法。数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视。历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查，且占比例较大。
知识升华
数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。
具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。
选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数形结合思想，寻找快速思路的空间。但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理，“形”上的直观是不够严密的。 1．高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面：
（1）集合问题中Venn图（韦恩图）的运用；
（2）数轴及直角坐标系的广泛应用；
（3）函数图象的应用；
（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用；
（5）解析几何、立体几何中的数形结合。
2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：
（1）等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应；
（2）双方性原则。既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分
析容易出错；
（3）简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；
二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变
量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。
3．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：
（1）建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何；
（2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解；
（3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。 4．常见的“以形助数”的方法有：
（1）借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆；
（2）借助于函数图象、区域（如线性规划）、向量本身的几何背景；
（3）借助于方程的曲线，由方程代数式，联想其几何背景，并用几何知识解决问题，如点，直线，斜
率，距离，圆及其他曲线，直线和曲线的位置关系等，对解决代数问题都有重要作用，应充分予
以重视。
5．常见的把数作为手段的数形结合：
主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有这方面的考查。
经典例题透析
类型一：利用数形结合思想解决函数问题 1．（2010全国Ⅰ·理）已知函数a+2b的取值范围是
A．
解析：画出
由题设有，
B．的示意图。 ， ，若，且，则
C．
D．
∴ ，
令 ，
则
∵
∴ ， ∴ 在，
。 上是增函数。
∴
举一反三：
【变式1】已知函数
。选C.
在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。
解析：∵
∴抛物线， 的开口向下，对称轴是，如图所示：
（1）
（2）
（3）
（1）当a＜0时，如图（1）所示， 当x=0时，y有最大值，即
∴1―a=2。即a=―1，适合a＜0。
（2）当0≤a≤1时，如图（2）所示， 当x=a时，y有最大值，即
。 。
∴a―a+1=2，解得
2。
∵0≤a≤1，∴不合题意。
（3）当a＞1时，如图（3）所示。
当x=1时，y有最大值，即
综合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2
【变式2】已知函数
（Ⅰ）写出
（Ⅱ）设的单调区间； ，求
在[0，a]上的最大值。
。
。∴a=2。
解析：
如图：
（1）的单调增区间：
，；单调减区间：（1，2）
时，，。
（2）当a≤1时，当
当
【变式3】已知
()
（1）若，在上的最大值为，最小值为，求证：；
（2）当]时，都
，时，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得x∈[0,
有|f(x)|≤5，问a为何值时，M(a)最大？并求出这个最大值。
解析：
（1）若a=0，则c=0，∴f(x)=2bx
当-2≤x≤2时，f(x)的最大值与最小值一定互为相反数，与题意不符合，∴a≠0；
若a≠0，假设，
∴区间[-2,2]在对称轴的左外侧或右外侧，
∴f(x)在[-2，2]上是单调函数，
（这是不可能的）
（2）当，时，，
∵，所以，
（图1）
（图2）
（1）当
所以
即是方程，时（如图1），则的较小根，即
（2）当
所以
即是方程，时（如图2），则的较大根，即
（当且仅当
时，等号成立），
由于，
因此当且仅当时，取最大值
类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题 2．若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。
思路点拨：将方程的左右两边分别看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可简化运算。
解析：画出
和的图象，
当直线过点，即时，两图象有两个交点。
又由当曲线
与曲线
相切时，二者只有一个交点，
设切点
又直线，则过切点，即，得， ，解得切点，
∴当时，两函数图象有两个交点，即方程有两个不等实根。
误区警示：作图时，图形的相对位置关系不准确，易造成结果错误。
总结升华：
1．解决这类问题时要准确画出函数图象，注意函数的定义域。
2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把
方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两
个函数的图象，由图求解。
3．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：
①要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；
②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；
③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；
④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，便于问题求解。
举一反三：
【变式1】若关于x的方程在（－1，1）内有1个实根，则k的取值范围是 。
解析：把方程左、右两侧看作两个函数，利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个数。
设（x∈－1，1）
如图：当内有1个实根。
或时，关于x的方程在（－1，1）
【变式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范围及这两个实根的和。
有两个不同的实数根，求实数m的解析：将原方程
与直线
转化为三角函数的图象
有两个不同的交点时，求a的范围及α+β的值。
设，，在同一坐标中作出这两个函数的图象
由图可知，当
或
时，y1与y2的图象有两个不同交点，
即对应方程有两个不同的实数根，
若，设原方程的一个根为，则另一个根为。
∴。
若，设原方程的一个根为，则另一个根为，
∴。
所以这两个实根的和为或。
且由对称性可知，这两个实根的和为或。
类型三：依据式子的结构，赋予式子恰当的几何意义，数形结合解答
3．（北京2010·理）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点，则函数的最小正周期为________；
在其两个相邻的轨迹方程是零点间的图象与x轴所围成的区域的面积为________.
解析：为便于观察，不妨先将正方形PABC向负方向滚动，使P点落在x轴上的点，此点即是函数的一个零点（图1）。
（一）以A为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点B位于x轴上，
顶点P画出了A为圆心，1为半径的个圆周（图2）；
（二）继续以B为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点C位于x轴上，
顶点P画出B为圆心，为半径的个圆周（图3）；
（三）继续以C为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时，顶点P位于x轴上，为点，
它画出了C为圆心，1为半径的个圆周（图4）。为又一个零点。
∴ 函数的周期为4.
相邻两个零点间的图形与x轴围成的图形由两个半径为1的圆、
半径为的圆和两个直角边长为1的直角三角形，其面积是
。
举一反三：
2
2【变式1】已知圆C：(x+2)+y=1，P（x，y）为圆C上任一点。
（1）求的最大、最小值；
（2）求的最大、最小值；
（3）求x―2y的最大、最小值。
解析：联想所求代数式的几何意义，再画出草图，结合图象求解。
（1）
表示点（x，y）与原点的距离，
由题意知P（x，y）在圆C上，又C（―2，0），半径r=1。
∴|OC|=2。的最大值为2+r=2+1=3， 的最小值为2―r=2―1=1。
（2）表示点（x，y）与定点（1，2）两点连线的斜率，
设Q（1，2），，过Q点作圆C的两条切线，如图：
将整理得kx―y+2―k=0。
∴，解得，
所以的最大值为，最小值为。
（3）令x―2y=u，则可视为一组平行线系，
当直线与圆C有公共点时，可求得u的范围，
最值必在直线与圆C相切时取得。这时
∴
。 ，最小值为
。 ，
∴x―2y的最大值为
【变式2】求函数
解析：的最小值。
则y看作点P（x，0）到点A（1，1）与B（3，2）距离之和
如图，点A（1，1）关于x轴的对称点A＇（1，－1），则 即为P到A，B距离之和的最小值，∴
【变式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则值范围是（ ）
2的取
A．
B．或
C．
D．或
解析：如图
由题知方程的根，一个在（0，1）之间，一个在（1，2）之间，
则 ，即
下面利用线性规划的知识，则斜率
可看作可行域内的点与原点O（0，0）连线的 则 ，选C。
数形结合论文参考文献篇5
在数学教学中渗透数形结合思想
在数学教学中，教师如果能灵活地借助数形结合思想，会将数学问题化难为易，帮助学生理解数学问题。那么，如何在初中数学教学中挖掘数形结合思想并适时地加以应用呢？下面笔者根据日常的教学实践谈谈自己的见解。
一、从有理数开始就让中学生及早体会数形结合思想
在七年级开始，数轴的引入就大大丰富了有理数的内容，对学生认识有理数、相反数、绝对值以及有理数的运算都有很大的帮助，由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是有理数，但我们要求学生时刻牢记它的形：数轴上的点。通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则。
例如:
1、比较两个数的大小方法：数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的大，正数大于零，负数小于0，正数大于负数；
2、比2℃低5℃的温度是_______；
3、若|a|=2，则a=______；
4、七年级《数学》(上)的习题，一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达小彬家，继续走了1.5千米到达小颖家，然后向西走了9.5千米到达小明家，最后回到超市。在习题中也常出现这类题目。
这些内容如果适当应用数形结合的思想就很容易理解掌握了。
二、不等式(组)内容蕴藏着数形结合思想
在进行 “一元一次不等式和一元一次不等式组”，教学时，为了加深学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。这里蕴藏着数形结合的重要思想方法，在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效，如：在分析不等式组的解集情况时，如果老师利用数轴把数转化为“形”从而找出两个不等式的公共解，教学效果会事倍功半。如果老师能结合数轴，画图表示各个不等式的解集，就很容易写出不等式组几种类型的解集。
三、应用题的内容也隐含丰富的数形结合思想。
用示意图分析数学问题，就是运用数形结合思想的充分体现。小学教师在帮助学生分析解应用题，尤其有关行程问题、工程问题等方面的内容时，都不忘用示意图。而到了中学，学生的理解分析能力都有了很大的提高，应用题的内容更为丰富了，复杂了、难度更大了，并且其难点是如何根据题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，老师在教学中必须充分运用数形结合思想，根据题意画出相应的示意图，才能帮助学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。数形结合的思想，是最基本的数学思想之一，应用范围较为广泛，因此我们数学老师在教学中要注重数形结合思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的应用，数与形是数学中相互依赖的两个方面，在教学中要挖掘数与形的联系，从而加深对所学知识的理解和掌握。
数形结合论文参考文献篇6
小学数学数形结合教学思想
一、数形结合教学思想在小学数学教学中的运用
数形结合作为一种教学思想方法，一般包含两方面内容，一个方面是“以形助数”，另一个方面的内容是“以数解形”。下面介绍这两个方面的内容在小学数学教学中的运用。
（一）以形助数
所谓“以形助数”，是指老师在讲解某些数学知识的时候，仅靠数字讲解学生不太能理解，借助几何图形的特点，将所要讲的知识点更直观地展现在学生面前，从而将抽象化的问题转变为具体化的问题。学生在学习行程问题的应用题时，可以运用图形的办法清晰地展现问题。如：一辆汽车从甲地开往乙地，先是经过上坡路，然后是平地，最后是下坡路，汽车上坡速度是每小时20千米，在平地的速度是每小时30千米，而下坡的速度则是每小时40千米，汽车从甲地到乙地一共上坡花了6小时，平地花了2小时，下坡花了4小时。请问汽车从乙地到甲地需要多长时间？在这道题中，既存在变量，又存在不变量。变量就是上坡路和下坡路随着汽车行驶的方向而发生改变，当汽车从乙地到甲地行驶时，原先的上坡路变成了下坡路，原先的斜坡路变成了上坡路。而不变量就是这两个路程汽车行驶的速度都是始终不变的。那么在解决问题的时候，就可以直观地展现出来。先算出汽车从乙地到甲地的上坡时间，即（40×4）÷20=8（小时），然后算出下坡所花费的时间，即（20×6）÷40=3（小时），而平地所花费的时间是不变的，所以汽车从乙地到甲地所花费的时间是8+3+2=13（小时）。在这道题中，运用图像将数学中的数量关系、运算都直观地展现出来，学生比较易于理解，这样的教学可以在很大程度上提高教学效率。
（二）以数解形
虽然图形可以更加直观地展现数学中的数量关系，但是对于一些几何图形，特别是小学数学中的几何图形来讲，非常简单，如果仅仅是通过直接观察反而看不出规律，这时就可以运用“以数解形”的方式教学。比如老师在讲解“平行四边形的特征”一课时，很多学生通过学习，对概念性的东西已经非常了解，但是在具体的情况下又不能真正把握清楚，老师在教学过程中就可以通过对四边形进行赋值，让学生更深刻地理解和把握。比如给出三组数字：（1）6，5，3，7（2）7，5，5，7（3）8，6，4，6在这三组数字中，让学生选择平行四边形。那么学生理解了平行四边形的概念，即两组对边要平行且相等，通过比较分析，知道只有第二组数字符合平行四边形的概念。因此，在这样的教学中应该充分运用“数”与“形”的特点，帮助学生更快地掌握知识要点。
二、在小学数学教学中运用数形结合教学思想需要注意的问题
（一）注意培养学生运用数形结合方法的习惯
老师在小学数学中运用数形结合的方法进行教学，帮助学生更好地理解知识点，同时要注意培养学生运用数形结合方法解决数学题的习惯。小学生在平时的做题过程中，常常会忘了使用“数形结合”方法，有的还不会。因此，老师在平时的教学中，一定要培养学生养成运用数形结合方法的好习惯。针对不同的年龄段学生，采用不同的方法，比如低年级学生，引导学生在生活中找实物，高年级的学生则学会简单的画图等，让学生建立数形结合的思想。
（二）数形结合要注意利用多媒体技术 多媒体的发展已经迅速蔓延到教学领域，对于比较难懂的知识点，老师要借助多媒体技术实施教学。因为多媒体技术可以移动图像，当碰到需要运用想象思维的时候，可以在多媒体中进行展示。
三、结语
在小学数学中运用数形结合教学思想，可以有效提高课堂教学效率，帮助学生更快地理解知识点。教师应根据不同情况，综合运用“以形助数”和“以数解形”这两种不同方式，取得更好的教学效果。
作者：季利明 工作单位：赤峰市元宝山区元宝山镇马林小学
数形结合论文参考文献篇7
在数学教学中渗透数形结合思想
在数学教学中，教师如果能灵活地借助数形结合思想，会将数学问题化难为易，帮助学生理解数学问题。那么，如何在初中数学教学中挖掘数形结合思想并适时地加以应用呢？下面笔者根据日常的教学实践谈谈自己的见解。
一、从有理数开始就让中学生及早体会数形结合思想
在七年级开始，数轴的引入就大大丰富了有理数的内容，对学生认识有理数、相反数、绝对值以及有理数的运算都有很大的帮助，由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是有理数，但我们要求学生时刻牢记它的形：数轴上的点。通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则。
例如:
1、比较两个数的大小方法：数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的大，正数大于零，负数小于0，正数大于负数；
2、比2℃低5℃的温度是_______；
3、若|a|=2，则a=______；
4、七年级《数学》(上)的习题，一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达小彬家，继续走了1.5千米到达小颖家，然后向西走了9.5千米到达小明家，最后回到超市。在习题中也常出现这类题目。
这些内容如果适当应用数形结合的思想就很容易理解掌握了。
二、不等式(组)内容蕴藏着数形结合思想
在进行 “一元一次不等式和一元一次不等式组”，教学时，为了加深学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。这里蕴藏着数形结合的重要思想方法，在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效，如：在分析不等式组的解集情况时，如果老师利用数轴把数转化为“形”从而找出两个不等式的公共解，教学效果会事倍功半。如果老师能结合数轴，画图表示各个不等式的解集，就很容易写出不等式组几种类型的解集。
三、应用题的内容也隐含丰富的数形结合思想。
用示意图分析数学问题，就是运用数形结合思想的充分体现。小学教师在帮助学生分析解应用题，尤其有关行程问题、工程问题等方面的内容时，都不忘用示意图。而到了中学，学生的理解分析能力都有了很大的提高，应用题的内容更为丰富了，复杂了、难度更大了，并且其难点是如何根据题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，老师在教学中必须充分运用数形结合思想，根据题意画出相应的示意图，才能帮助学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。数形结合的思想，是最基本的数学思想之一，应用范围较为广泛，因此我们数学老师在教学中要注重数形结合思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的应用，数与形是数学中相互依赖的两个方面，在教学中要挖掘数与形的联系，从而加深对所学知识的理解和掌握。
数形结合论文参考文献篇8
《“数形结合”在小学低段数学教学中的应用》
龙南县龙翔学校
曾智勇
一、有利于把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念
学生在进入小学学习之前，他们的知识基本上是建立在现实生活中客观事物上的。其知识特点是直观形象，看得见，摸得着。而进入小学阶段，教师如果运用数形结合来引入新知、建构概念、解决问题，就相当于在原有的知识体系上添砖加瓦，新知识的学习就变得更简单。这样新学的知识就会具有较高的稳定性和牢固性，而我们也达到了所需的教学效果，也就是所谓深入浅出。
例如：二年级数学第一册中《乘法的引入》。
用相同的图像引导学生列出同数相加的算式，这样一方面利用数形结合思想直观、形象、生动的特点展现乘法的初始状态，懂得乘法的由来（知识的产生与发展）；另一方面借助学生已有的知识经验——看图列加法算式，加深了图、式的对应思想，无形中也降低了教学难度。
我在实际课堂教学中运用PPT幻灯片技术展现一个盆子里有三个苹果，然后依次出现这样的第二个盆子，第三个盆子，一直到第五个盆子，如何来表示这个场景呢？学生自然会用同数相加的方法来表示。接着，教师一边出示课件一边提出：“如果有20个盆子，30个盆子，甚至100个盆子，你们怎么办呢？”学生一片哗然：“哦~~！算式太长了，本子都写不下呢。”这时，建立乘法概念水到渠成！数形结合使学生不仅理解了乘法的意义，而且懂得了乘法是同数相加的简便运算。
从学生的思维活动过程来看：在这个片段中，学生经历了由具体到抽象的思维过程，也就是由直观的小船，抽象成连加算式，抽象成乘法算式，经历了由一般到特殊的思维过程。
二、使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理
小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。但在教学中很多老师忽视了引导学生理解算理，尤其在课改之后，老师们注重了算法多样化，在计算方法的研究上下了很大功夫，却更加忽视了算理的理解。我们应该意识到，算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法呢？在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。” 根据教学内容的不同，引导学生理解算理的策略也是不同的，我认为数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。
如，在教学有余数的除法时，我就是利用7根小棒来完成的教学的。首先出示7根小棒，问能搭出几个三角形？要求学生用除法算式表示搭三角形的过程。像这样，把算式形象化，学生看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，更加有效地理解算理。
三、应用“数形结合”，提高学生的能力
对大脑的科研成果表明，大脑的两半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨，稳定封闭，如数的运算、代数式的运算、逻辑推理、归纳演绎等。右半脑功能则偏听偏重于形象思维，讲究直觉想象，自由发散，如猜想、假设、构思开拓、奇异创造等。左、右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。“数形结合”就同时运用了左、右半脑的功能，在培养形象思维能力时，也促进了逻辑思维能力的发展。
1．“数形结合”有助于对数学知识的记忆
“记忆是智慧的仓库”。人的知识、经验的积累、技能的形成、技巧的熟练、思维能力的培养、事业的成就等都离不开良好的记忆能力。 中等职业教育中的数学知识是基础性知识，需要牢固地记忆并掌握这些基础知识，在此基础上做到灵活应用，在整个教学过程中，这二者是相辅相成的。记忆正是掌握知识的基本手段，记忆的过程也就是知识积累的过程，同时有助于知识的深化，知识水平的提高更是要以记忆为前提。有的学生面对一些数学问题束手无策，找不到解题的思路与方法，这与脑子里记忆的数学知识太少有关。只有对数学的基础知识记忆牢固，才能做到温故而知新，应用时熟能生巧，才能进一步发展数学思维，提高数学能力。教学中运用形象记忆的特点，使抽象的数学尽可能地形象化，对学生输入的数学信息和映象就更加深刻，在学生的脑海中形成数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆。
2．应用“数形结合”，训练学生数学直觉思维能力
在数学里，存在着大量的直觉思维。这就是人们在求解数学问题时，运用已有的知识，从整体上对数学对象及其结构迅速识别、判断，进而作出大胆的猜想，合理的假设，并作出试探性的结论。它具有顿悟、飞跃的特征。
3．应用“数形结合”，培养学生的发散思维能力
发散思维是从同一来源的材料或同一个问题，探求不同思路和方法的思维过程，其思维方向是从不同角度、不同方面看待同一个问题。在教学中常借助“一题多解”或“一题多变”的形式，突出已知与未知之间的矛盾联系，来引发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，达到知识融会贯通，发展思维的广阔性和灵活性，激励学生的好奇心和求知欲，提高解决问题的应变能力。
四、应用“数形结合”，解决大量实际问题
运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。
如植树问题，就是从图形中总结出解决方法。先模拟植树，得出线上植树的三种情况。
“___”代表一段路，用“ / ”代表一棵树，画“ / ”就表示种了一棵树。让学生在这段路上种上四棵树，想想、做做，你能有几种种法？ 学生操作，独立完成后，在小组里交流说说你是怎么种的？
师反馈，实物投影学生摆的情况。师根据学生的反馈相应地把三种情况都贴于黑板：
① _________两端都种
② ____________ 或 ____________ 一端栽种
③ _______________两端都不种
师生共同小结得出： 两端都种：棵数＝段数＋1； 一端栽种：棵数=段数；两端都不种 ：棵数=段数—1。本学期遇到了的几个题型，如锯木头、路边植树、上楼梯等问题，通过“形”的教学收到了明显的效果。许多孩子不会列算式，但是，会先画图，利用图形再列算式，像这些题目都是利用线段图帮助学生学习。让学生有可以凭借的工具，借助数形结合将文字信息与学习基础耦合，使得学习得以继续，使得学生思维发展有了凭借，也使得数学学习的思想方法真正得以渗透。
数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象、表象之间的转化，发展学生的思维。数形结合是学生建构知识的一个拐杖，有了这根拐杖，学生们才能走得更稳、更好。实践证明，抽象的数学概念和复杂的数量关系，借助图形使之形象化、直观化、简单化。
因此教师要从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有目的、有计划地进行渗透数形结合思想的教学，使学生逐步形成数形结合思想，并使之成为学习数学、解决数学问题的工具，这是我们数学教学着力追求的目标。
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